Корреляция акций Российских компаний

Свойства корреляции.

Пусть ( w_i ) — любая постоянная величина (константа), а ( R_i ) — случайная величина.

1. Ожидаемое значение постоянной величины, умноженной на случайную величину, равно постоянной, умноженной на ожидаемое значение случайной величины.

https://www.youtube.com/watch?v=ytdevru

( E(w_iR_i) = w_i(R_i) )

2. Ожидаемое значение взвешенной суммы случайных величин равно взвешенной сумме ожидаемых значений с использованием тех же весов.

( E (w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n) )(= w_1E (R_1) w_2E(R_2) … w_nE(R_n)  )(формула 13)

Предположим, у нас есть случайная величина с заданным ожидаемым значением. Например, если мы умножим каждый результат на 2, ожидаемое значение случайной величины умножится также на 2. В этом смысл части 1.

Второе утверждение — это правило, которое напрямую приводит к выражению ожидаемой доходности портфеля.

Портфель с n ценными бумагами определяется весами его портфеля, ( w_1, w_2, ldots, w_n ), которые в сумме составляют 1. Таким образом, доходность портфеля, ( R_p ), равна ( R_p = w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n ).

( -1 leq rho(X,Y) leq 1 )

2. Корреляция 0 (некоррелированные переменные) указывает на отсутствие какой-либо линейной (прямой) взаимосвязи между переменными.

Если корреляция равна 0, (R_1 = a bR_2) ошибка, при b = 0.

  • Растущая положительная корреляция указывает на все более сильную положительную линейную зависимость (до 1, что указывает на идеальную линейную зависимость).
  • Растущая отрицательная корреляция указывает на все более сильную отрицательную (обратную) линейную зависимость (до -1, что указывает на идеальную обратную линейную зависимость).
  • Если корреляция положительна, (R_1 = a bR_2) ошибка, при b {amp}gt; 0. Если корреляция отрицательна, b {amp}lt; 0.

( P(X,Y) = P(X)P(Y) ).

Например, учитывая независимость, P(3,2) = P(3)P(2).

Корреляция активов

Мы умножаем отдельные вероятности, чтобы получить совместные вероятности. Независимость является более сильным свойством, чем некоррелированность, потому что корреляция касается только линейных зависимостей.

Следующее правило распространяется на независимые случайные величины и, следовательно, также на некоррелированные случайные величины.

Ожидаемое значение произведения некоррелированных случайных величин является произведением их ожидаемых значений.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcreatorsru

( E(XY) = E(X) E(Y) ), если X и Y не коррелированны.

Многие финансовые переменные, такие как выручка (цена, умноженная на количество), являются произведением случайных величин. Когда это применимо, приведенное выше правило упрощает расчет ожидаемого значения произведения случайных величин.

В противном случае расчет зависит от условного ожидаемого значения; расчет может быть выражен как ( E(XY) = E (X) E(Y|X) ).

Что это такое корреляция: формулы и зависимости

Я веду этот блог уже более 6 лет. Все это время я регулярно публикую отчеты о результатах моих инвестиций. Сейчас публичный инвестпортфель составляет более 1 000 000 рублей.

Специально для читателей я разработал Курс ленивого инвестора, в котором пошагово показал, как наладить порядок в личных финансах и эффективно инвестировать свои сбережения в десятки активов. Рекомендую каждому читателю пройти, как минимум, первую неделю обучения (это бесплатно).

Подробнее

Здесь:

  • rxy – коэффициент корреляции значений величин x и y;
  • dx – отклонение некоторого значения ряда x от среднего значения этого ряда;
  • dy – отклонение некоторого значения ряда y от среднего значения этого ряда.

Диапазон возможных значений коэффициента корреляции находится между 1 и -1. При этом возможны следующие варианты:

  • 1 – прямая зависимость между величинами;
  • |rxy| {amp}gt; 0.7 – ярко выраженная зависимость между величинами;
  • 0.4 {amp}lt; |rxy| {amp}gt; 0.7 – средне выраженная зависимость между величинами;
  • |rxy| {amp}lt; 0.4 – слабо выраженная зависимость между величинами;
  • -1 – обратная зависимость между величинами.

Важно заметить, что чем больше выборка значений, тем при меньшей величине модуля коэффициента корреляции можно говорить о наличии зависимости между x и y. К сожалению, в формуле заложена ловушка, которая применительно к финансовым инструментам может сыграть с инвестором злую шутку. В числителе отклонения величин могут иметь как одинаковые, так и разные знаки, поэтому произведение может также быть как положительным, так и отрицательным.

Практический смысл вычисления корреляции между финансовыми инструментами заключается в получении важных фундаментальных данных, необходимых для принятия торговых решений. Реакция рынков на выход важных экономических новостей выражается в том, что вначале в движение приходят цены основных активов (золото, нефть, фьючерсы на промышленные индексы), иногда доходность государственных облигаций.

Как следствие, изменяются валютные курсы и котировки акций. Отслеживая взаимосвязь отдельных инструментов, а также причинно-следственные отношения между изменениями цен, можно оперативно пересматривать торговые и инвестиционные планы. Кроме того, анализ корреляций используется в управлении инвестиционными портфелями как обязательная часть риск-менеджмента.

Расчет ожидаемой доходности портфеля.

( begin{aligned}     E(R_p) {amp}amp;= E(w_1R_1 w_2R_2 ldots w_nR_n) \    {amp}amp;= w_1E(R_1) w_2E(R_2) ldots w_nE (R_n)    end{aligned} )

Предположим, мы оценили ожидаемую доходность активов в портфеле, как показано в Таблице 6.

Таблица 6. Веса и ожидаемая доходность активов в портфеле.

Класс актива

Вес

Ожидаемая
доходность (%)

S{amp}amp;P 500

0.50

13

Долгосрочные корпоративные облигации США

0.25

6

MSCI EAFE

0.25

15

( begin{aligned}    E(R_p) {amp}amp;= w_1E(R_1) w_2E(R_2) w_3E (R_3) \    {amp}amp;= 0.50(13%) 0.25(6%) 0.25(15%) = 11.75%    end{aligned} )

В предыдущем разделе мы изучали дисперсию как меру рассеивания результатов вокруг ожидаемого значения. Здесь нас интересует дисперсия доходности портфеля как мера инвестиционного риска.

Если ( R_p ) обозначает доходность портфеля, то дисперсия доходности портфеля составляет ( sigma^2(R_p) = E Big{ big[R_p — E(R_p)big]^2 Big} ) в соответствии с Формулой 8.

В чтении о статистических концепциях и рыночной доходности мы узнали, как рассчитать историческую или выборочную дисперсию на основе выборки ставок доходности.

Теперь мы рассматриваем дисперсию в прогностическом смысле. Мы будем использовать информацию об отдельных активах в портфеле, чтобы получить доходность всего портфеля.

Чтобы избежать беспорядка в обозначениях, мы пишем ( ER_p ) вместо (E(R_p)). Нам нужна концепция ковариации.

Корреляция акций Российских компаний

У вас есть портфель из двух взаимных инвестиционных фондов, A и B. 75% портфеля вложено в A, как показано в Таблице 10.

Таблица 10. Ожидаемая доходность, дисперсия и ковариация доходности взаимных фондов.

Фонд

A

B

E(RA) = 20% E(RB) = 12%

Ковариационная матрица

Фонд

A

B

A

625

120

B

120

196

  1. Рассчитайте ожидаемую доходность портфеля.
  2. Рассчитайте матрицу корреляции для этой задачи. Рассчитайте значения матрицы до двух десятичных знаков.
  3. Рассчитайте стандартное отклонение доходности портфеля.

https://www.youtube.com/watch?v=ytpressru

( E(R_p) = w_AE(R_A) (1 — w_A)E(R_B) )= 0.75(20%) 0.25(12%) = 18%.

Веса портфеля должны составлять в сумме 1: (W_B = 1 — W_A ).

(sigma(R_A) = 625^{1/2} = 25%), (sigma(R_B) = 196^{1/2} = 14%).

( rho(R_A,R_B) = {mathrm{Cov}(R_A, R_B) over sigma(R_A)sigma(R_B)} )= 120 / [25(14)] = 0.342857 или 0.34.

В Таблице 11 показана корреляционная матрица.

Таблица 11. Матрица корреляции.

A

B

A

1.00

0.34

B

0.34

1.00

В корреляционной матрице диагональные члены всегда равны 1.

( begin{aligned}      sigma^2(R_p) {amp}amp;= w_A^2 sigma^2(R_A) w_B^2 sigma^2(R_B) 2w_Aw_B textrm{Cov}(R_A,R_B) \    {amp}amp;= (0.75)^2 (625) (0.25)^2 (196) 2(0.75)(0.25)(120) \     {amp}amp;= 351.5625 12.25 45 = 408.8125     end{aligned} )

( sigma(R_p) = 408.8125^{1/2} = 20.22% )

Знание корреляции активов снижает риски портфеля

Процесс, называемый ребалансировкой портфеля, позволяет получать доход, попеременно меняя долю активов в портфеле. Наиболее просто это достигается при ярко выраженной отрицательной корреляции. Предположим, что изначально в портфеле были активы А и В с обратной корреляцией и соотношением 1:1, на общую сумму 1 млн рублей.

В течение полугода актив А упал в цене на 20% и его стоимость из первоначальных 500 тыс. рублей стала 400 тыс. рублей. Актив В, наоборот, вырос на 20% и его стоимость поднялась до 600 тыс. рублей. Общая стоимость портфеля не изменилась и по-прежнему составляет 1 млн рублей. Теперь 50% актива В (300 тыс.) перекладываем в А и его стоимость теперь составляет 700 тыс., а актива В – 300 тыс.

Рисунок 7. Два логнормальных распределения.

Как видно, чем ниже значение коэффициента корреляции инструментов, тем больше возможная доходность портфеля при одном и том же значении риска, либо тем меньше риск при одном и том же значении доходности.

Как оценивать ковариацию и корреляцию доходности?

https://www.youtube.com/watch?v=ytadvertiseru

Для двух случайных величин (R_i) и (R_j) ковариация между (R_i) и (R_j) равна

( textrm{Cov} big(R_i, R_jbig) = E big[(R_i — ER_i) (R_j — ER_j)big] )

(Формула 14)

Альтернативными обозначениями являются (sigma(R_i,R_j)) и (sigma_{ij}).

Формула 14 утверждает, что ковариация (англ. ‘covariance’) между двумя случайными переменными является средневзвешенной вероятностью для перекрестных произведений отклонения каждой случайной переменной от ее собственного ожидаемого значения.

( begin{aligned}     sigma^2(R_p) {amp}amp;= E big[(R_p — ER_p)^2big]  \     {amp}amp;= E Big{ big[w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3 — E(w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3) big]^2 Big} \     {amp}amp;= E Big{ big[w_1R_1 w_2R_2 w_3R_3 — w_1ER_1 — w_2ER_2 — w_3ER_3 big]^2 Big}      end{aligned} )(используя Формулу 13)

( begin{aligned}     {amp}amp;= E Big{ big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big]^2 Big}    end{aligned} )(преобразование)

( begin{aligned}      {amp}amp;= E Big{ big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big] \     {amp}amp;times big[w_1(R_1 — ER_1) w_2(R_2 — ER_2) w_3(R_3 — ER_3) big] Big}      end{aligned} )(что значит квадрат)

( begin{aligned}      {amp}amp;= E big[w_1w_1(R_1 — ER_1)(R_1 — ER_1) w_1w_2(R_1 — ER_1)(R_2 — ER_2) \     {amp}amp; w_1w_3(R_1 — ER_1)(R_3 — ER_3) w_2w_1(R_2 — ER_2)(R_1 — ER_1) \     {amp}amp; w_2w_2(R_2 — ER_2)(R_2 — ER_2) w_2w_3(R_2 — ER_2)(R_3 — ER_3) \      {amp}amp; w_3w_1(R_3 — ER_3)(R_1 — ER_1) w_3w_2(R_3 — ER_3)(R_2 — ER_2) \    {amp}amp; w_3w_3(R_3 — ER_3)(R_3 — ER_3) big]     end{aligned} )(выполняем умножение)

( begin{aligned}      {amp}amp;= w^1_2E big[(R_1 — ER_1)^2 big] w_1w_2E big[(R_1 — ER_1) (R_2 — ER_2) big] \     {amp}amp; w_1w_3E big[(R_1 — ER_1) (R_3 — ER_3) big] w_2w_1E big[(R_2 — ER_2) (R_1 — ER_1) big] \     {amp}amp; w^2_2E big[(R_2 — ER_2)^2 big] w_2w_3E big[(R_2 — ER_2) (R_3 — ER_3) big] \     {amp}amp;

(напомим, что (w_i) являются постоянными величинами)

https://www.youtube.com/watch?v=ytpolicyandsafetyru

( begin{aligned}     {amp}amp;= w^2_1 sigma^2 (R_1) w_1w_2 textrm{Cov} (R_1, R_2) w_1w_3 textrm{Cov} (R_1, R_3) \      {amp}amp; w_1w_2 Cov(R_1, R_2) w^2_2 sigma^2 (R_2) w_2w_3 textrm{Cov} (R_2, R_3) \     {amp}amp; w_1w_3 Cov(R_1, R_3) w_2w_3 Cov(R_2, R_3)   w^2_3 sigma^2 (R_3)     end{aligned} )(формула 15)

Последний шаг следует из определений дисперсии и ковариации.

Полезные факты о дисперсии и ковариации включают в себя следующее:

  1. Дисперсия постоянной величины (константы) умноженная на случайную величину равна квадрату константы умноженной на дисперсию случайной величины, или ( sigma^2(wR) = w^2sigma^2(R) );
  2. Дисперсия константы плюс случайная величина равна дисперсии случайной величины, или ( sigma^2(w R) = sigma 2(R)), поскольку константа имеет нулевую дисперсию;
  3. Ковариация между константой и случайной величиной равна нулю.

Для выделенных курсивом ковариационных членов в Формуле 15 мы использовали тот факт, что порядок переменных в ковариации не имеет значения: например, (textrm{Cov}(R_2,R_1) = textrm{Cov}(R_1,R_2) ).

Как мы покажем далее, диагональные дисперсионные члены (sigma^2(R_1)), (sigma^2(R2)) и (sigma^2(R_3)) могут быть выражены как (textrm{Cov}(R_1,R_1)), (textrm{Cov}(R_2,R_2)) и (textrm{Cov}(R_3,R_3)), соответственно.

Корреляция акций Российских компаний

( sigma^2(R_p) = sum_{i=1}^{3} sum_{j=1}^{3}w_i w_j textrm{Cov}(R_i,R_j) )

Знаки суммирования говорят: «Установите i = 1, и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 2 и пусть j меняется от 1 до 3; затем установите i = 3 и пусть j меняется от 1 до 3; наконец, добавьте девять членов».

( sigma^2(R_p) = sum_{i=1}^{3} sum_{j=1}^{3}w_i w_j textrm{Cov}(R_i,R_j) )(Формула 16)

Из Формулы 15 видно, что отдельные отклонения доходности составляют часть, но не все отклонения портфеля. Три отклонения фактически превосходят по численности шесть ковариационных членов вне диагонали. Для трех активов это соотношение составляет 1 к 2 или 50 процентов.

Если имеется 20 активов, то есть 20 дисперсионных слагаемых и 20(20) — 20 = 380 недиагональных ковариационных слагаемых. Отношение слагаемых дисперсии к недиагональным слагаемым ковариации составляет менее 6 к 100, или 6%. Таким образом, первое наблюдение заключается в том, что с увеличением числа активов портфеля ковариация становится все более важной, в остальном все не меняется.

Когда значение ковариации как «недиагональной ковариации» очевидно, как здесь, мы опускаем уточняющие слова. Ковариация обычно используется в этом смысле.

Члены ковариации показывают, как совместное движение доходности отдельных активов влияет на дисперсию всего портфеля.

Например, рассмотрим две акции: одна имеет тенденцию к высокой доходности (относительно ее ожидаемой доходности), а другая имеет низкую доходность (относительно ее ожидаемой доходности).

Доходность одной акции имеет тенденцию компенсировать доходность другой акции, снижая изменчивость или дисперсию доходности портфеля.

Как и дисперсию, значения ковариации трудно интерпретировать, и мы вскоре представим более интуитивно понятную концепцию. Между тем, из определения ковариации мы можем установить два существенных примечания о ковариации.

1. Мы можем интерпретировать ковариацию следующим образом:

  • Ковариация доходности отрицательна, когда доходность одного актива выше его ожидаемого значения, а доходность другого актива имеет тенденцию быть ниже его ожидаемого значения (средняя обратная зависимость между ставками доходности).
  • Ковариация доходности равна 0, если доходность активов не связана.
  • Ковариация доходности положительна, когда доходность обоих активов, как правило, находятся по одну сторону (выше или ниже) относительно ожидаемых значений в одно и то же время (средняя положительная зависимость между ставками доходности).

https://www.youtube.com/watch?v=https:www.googleadservices.compageadaclk

( begin{aligned}     textrm{Cov}(R, R) {amp}amp;= E Big{ big[R — E (R) big] big[R — E (R) big] Big } \     {amp}amp;= E Big { big[R — E(R) big]^2 Big} = sigma^2(R)  end{aligned}).

Полный список ковариаций составляет все статистические данные, необходимые для расчета дисперсии доходности портфеля. Ковариации часто представлены в табличном формате, который называется ковариационной матрицей (англ. ‘covariance matrix’).

В Таблице 7 показано, как вводятся расчетные значения в ковариационную матрицу для ожидаемой доходности и дисперсии доходности портфеля.

Таблица 7. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля — значения матрицы:

Актив

A

B

C

E(RA

E(RB

E(RC)

Актив

A

B

C

A

(mathbf{textrm{Cov}(R_A,R_A)})

(textrm{Cov}(R_A,R_B))

(textrm{Cov}(R_A,R_C))

B

(textrm{Cov}(R_B,R_A))

(mathbf{textrm{Cov}(R_B,R_B)})

(textrm{Cov}(R_B,R_C))

C

(textrm{Cov}(R_C,R_A))

(textrm{Cov}(R_C,R_B))

(mathbf{textrm{Cov}(R_C,R_C)})

Для трех активов ковариационная матрица имеет (3^2 = 3 times 3 = 9 ) ячеек, но значения ячеек по диагонали (дисперсия) обычно рассчитываются отдельно от недиагональных ячеек. Эти диагональные значения выделены жирным шрифтом в Таблице 7.

Это различие естественно, так как дисперсия акций — это концепция с одной переменной. Таким образом, есть 9 — 3 = 6 ковариаций, исключая дисперсии.

курс ленивого инвестора

Но (textrm{Cov}(R_B,R_A) = textrm{Cov}(R_А,R_В)), ( textrm{Cov}(R_С,R_A) = textrm{Cov}(R_B,R_A) ) и ( textrm{Cov}(R_С,R_B) = textrm{Cov}(R_B,R_C) ).

Ковариационная матрица под диагональю является зеркальным отображением ковариационной матрицы над диагональю. В результате, есть только 6/2 = 3 различных ковариационных члена для оценки. В целом, для n ценных бумаг существует ( n(n — 1)/2 ) различных ковариаций для оценки и n дисперсий для оценки.

Предположим, у нас есть ковариационная матрица, показанная в Таблице 8.

Мы будем работать с доходностью, указанной в процентах, а записи в таблице будут выражены в процентах в квадрате (%2). Члены 38%2 и 400%2 равны 0.0038 и 0.0400 соответственно в десятичном виде; правильная работа в процентах и ​​десятичных дробях приводит к одинаковым ответам.

Таблица 8. Ковариационная матрица.

S{amp}amp;P 500

Долгосрочные корпоративные облигации США

MSCI EAFE

S{amp}amp;P 500

400

45

189

Долгосрочные корпоративные облигации США

45

81

38

MSCI EAFE

189

38

441

( begin{aligned}     sigma^2(R_p) {amp}amp;= w_1^2 sigma^2(R_2) w_2^2 sigma^2(R_2) w_3^2 sigma^2(R_3) 2w_1w_2 textrm{Cov}(R_1,R_2) \      {amp}amp; 2w_1w_3 textrm{Cov}(R_1,R_3) 2w_2w_3 textrm{Cov}(R_2,R_3)  end{aligned} )(Формула 17)

( begin{aligned}      {amp}amp;= (0.50)^2(400) (0.25)^2(81) (0.25)^2(441) \        {amp}amp; 2(0.50)(0.25)(45) 2(0.50)(0.25)(189) \       {amp}amp; 2(0.25)(0.25)(38) \         {amp}amp;= 100 5.0625 27.5625 11.25 47.25 4.75 = 195.875      end{aligned} )

Разница составляет 195.875. Стандартное отклонение доходности составляет 195.8751/2 = 14%. В итоге, ожидаемая годовая доходность портфеля составляет 11.75%, а стандартное отклонение доходности — 14%.

Давайте посмотрим на первые три члена в приведенном выше расчете. Их сумма, 100 5.0625 27.5625 = 132.625, является вкладом отдельных дисперсий активов в общую дисперсию портфеля. Если бы доходность по трем активам была независимой, ковариации были бы равны 0, а стандартное отклонение доходности портфеля составило бы 132.6251/2 = 11.52% по сравнению с 14% ранее.

Корреляция акций Российских компаний

Портфель будет иметь меньший риск. Предположим, что члены ковариации были отрицательными. Тогда к 132.625 будет добавлено отрицательное число, поэтому дисперсия портфеля и риск будут еще меньше.

В то же время мы не изменили ожидаемую доходность. При той же ожидаемой доходности портфеля, портфель имеет меньший риск. Это снижение риска является преимуществом диверсификации, что означает снижение риска от владения портфелем активов.

Корреляция на форексе

Распространённая стратегия, основанная на корреляции валютных пар, заключается в том, что в случае резкого отклонения коэффициента корреляции от текущего значения, сделки открываются в направлении восстановления этого значения. Например, если пары EURUSD и GBPUSD длительное время двигались в одном направлении, то при их сильном расхождении можно ожидать сближения, если расхождение не вызвано долговременными фундаментальными факторами (например, изменение учётной ставки).

Кроме того, корреляция валютных пар используется при комплексной оценке рынка. Например, накануне ипотечного кризиса 2008—2009 годов, когда австралийский и новозеландский доллары, а также английский фунт имели высокую ключевую ставку, большое развитие получила стратегия торговли под названием carry trade.

При том, что никакая корреляция не может затрагивать абсолютно все временные интервалы и возможны разнонаправленные движения валют, но ярко выраженное однонаправленное движение, как правило, говорит о наличии общего фундаментального «драйвера». Это облегчает планирование сделок. В частности, нет смысла искать откаты и внутри дня работать против тренда, если все чётко коррелирующие пары идут в одном направлении.

Не бывает следствий без причины

https://www.youtube.com/watch?v=ytaboutru

Корреляция цен активов в чём-то подобна трендам: чем больше временной интервал для её расчёта, тем медленнее она изменяется. Но есть и то, что выгодно отличает корреляцию от многих других методов. Её можно рассчитать для таких пар активов, которые не торгуются ни на одной бирже (нефть-газ, нефть-золото), что позволяет дополнить арсенал аналитика ценной информацией, позволяющей «читать рынок между графиками».

Отслеживая подобное поведение «ведомых» активов, можно открывать сделки в сторону восстановления баланса. Кстати, корреляция на рынке форекс часто имеет в основе привязку некоторых валют к сырьевым активам. Их так и называют: «сырьевые валюты». Например, сильно зависят от нефти канадский доллар и рубль. В обоих случаях, корреляция прямая: чем дороже нефть, тем выше курс этих валют по отношению к доллару США.

В случае рубля корреляция графиков настолько чёткая, что может быть использована в торговой стратегии. Рассмотрим начало 2014 года. Нефть торгуется около 110$ за баррель, после чего на некоторое время поднимается чуть выше. Рубль же в это время, напротив, с 33 за доллар США кратковременно снижается до 36.

На какой-то момент корреляция становится практически обратной, но равновесие быстро восстанавливается и рубль возвращается к курсу 33 за доллар, послушно следуя за нефтью. Ещё более яркий пример мы видим в конце 2014 года, когда произошло резкое ослабление рубля на фоне гораздо более плавно снижающейся нефти.

В конце 2007 года, когда начали проявляться первые признаки ипотечного кризиса в США, индекс DJ развернулся вниз, но индекс РТС, благодаря активному росту нефтяных котировок, ещё только подбирался к историческому максимуму. Однако, в дальнейшем резкий обвал всех фондовых индексов мира сказался и на нефти.

Однако, кризис был недолгим и уже в начале 2009 года сменился экономическим ростом. Высокая корреляция между DJ и РТС наблюдалась вплоть до апреля 2012 года, который ознаменовался исчерпанием возможностей сырьевой модели развития российской экономики. Начиная с этого года, даже дорогая нефть уже не обеспечивала экономический рост.

Математическая ловушка

Тогда новые значения этих величин будут систематически оказываться по одну сторону от их средних значений. Это приведёт к высокой положительной корреляции. К сожалению, никакой пользы от этой информации не будет, т.к. кроме наличия гэпа, ничего общего между графиками нет. Это лишь наглядный пример того, что при расчёте корреляции допускается использовать исключительно стационарные ряды значений, т.е.

ряды, в которых нет трендовой составляющей. Это означает, что расчёт корреляций в мире финансовых активов неизбежно приводит к переоценке значимости факторов, в действительности имеющих случайный характер. Поймите правильно: важно не выискивать эти факторы и вводить на них специальные поправки, а показать саму суть явления и не искать очередной Грааль там, где его нет.

Впрочем, не всё так плохо. Есть способ обойти влияние трендов путём расчёта корреляции не самих цен, а их приращений. Тогда упомянутый выше ГЭП окажется статистическим выбросом, практически не влияющим на результат. Осталось лишь дождаться, когда такой подход возобладает. Не всегда можно найти свежие данные по корреляции активов.

В таких случаях их можно рассчитать при помощи Microsoft Excel. Для этого котировки записываются в виде двух диапазонов ячеек, а затем в одной из свободных ячеек записывается функция следующего вида: =КОРРЕЛ (массив 1; массив 2). Массив может выглядеть, например, так: A1:A100. Для расчёта корреляции по приращениям цен, эта программа полезна вдвойне, ведь на основе цен закрытия нужно вначале рассчитать сами приращения.

Процесс моделирования методом Монте-Карло.

Чтобы понять технику моделирования методом Монте-Карло, давайте представим процесс в виде серии шагов.

Эти шаги следует рассматривать только с целью изучения метода Монте-Карло, а не в качестве подробного рецепта для практической работы с этим методом, так как процесс может сильно отличаться в зависимости от области его применения, которая также очень разнообразна.

Для того, чтобы проиллюстрировать эти шаги, мы рассмотрим пример использования метода Монте-Карло для оценки азиатского колл-опциона, не имеющего аналитической формулы ценообразования.

Азиатский колл-опцион (англ. ‘Asian call option’) — это опцион в европейском стиле со стоимостью в момент исполнения, равной разнице между ценой акций в момент исполнения и средней ценой акций в течение срока действия опциона, или $0, в зависимости от того, что больше.

Например, если цена акции в момент исполнения опциона составляет $34, а средняя стоимость в течение срока действия опциона составляет $31, то стоимость опциона на момент исполнения составляет $3 (наибольшее значение из $34 — $31 = $3 и $0).

  • Шаги с 1 по 3 описывают имитацию;
  • Шаги с 4 по 7 выполняют сам процесс имитации.

Шаг 1. Определите интересующие величины (стоимость опциона, например, или размер активов пенсионного плана) в терминах базовых случайных величин.

Базовой случайной величиной (или несколькими величинами) может быть цена акций опциона, рыночная стоимость пенсионных активов, или другие случайные величины, связанные с обязательствами по пенсионному плану.

Укажите первоначальные значения базовых случайных величин.

Корреляция акций Российских компаний

Для иллюстрации шагов, мы используем оценку азиатского колл-опциона: ( С_{iT} ) представляет стоимость опциона при исполнении в момент времени (T). Нижний индекс (i) в ( С_{iT} ) указывает, что значение ( С_{iT} ) является результатом (i-text{го}) имитационного испытания (англ. ‘simulation trial’).

Каждое имитационное испытание требует генерации случайной величины (итерация Шага 4).

Шаг 2. Определите временную шкалу. Возьмите календарный временной горизонт и разделить его на несколько подпериодов, общим числом (K).

Календарный период разделенный на (K) подпериодов, имеет временной инкремент (приращение времени) (Delta t).

Шаг 3. Сделайте предположения о характере распределения для факторов риска, которые влияют на базовые случайные величины.

 (Delta t)(Цена акций) = (( mu times ) Предыдущая цена акций (times Delta t)) (( sigma times ) Предыдущая цена акций (times Z_k ))

Корреляция акций Российских компаний

В данном случае, ( Z_k ) является фактором риска при моделировании. Выбирая значение ( mu) и ( sigma), мы контролируем распределение стоимости акций. Хотя в этом примере используется один фактор риска, данная имитация может иметь несколько факторов риска.

Шаг 4. С помощью компьютерной программы или функции Excel, сгенерируйте (K)  случайные наблюдения для каждого фактора риска.

В нашем примере, функция Excel будет генерировать (K) значений стандартной нормальной случайной величины ( Z_k ): ( Z_1, Z_2, Z_3, ldots , Z_k ).

Шаг 5. Вычислите базовые случайные величины, используя случайные наблюдения, сгенерированные на Шаге 4.

Результатом описанной выше модели динамики цены акций будет (K) наблюдений изменений цены акций. Для преобразования этих изменений в (K) цен на акции необходим дополнительный расчет (с использованием первоначальных цен акций, определенных на Шаге 1).

Другой расчет вычисляет среднюю цену акций в течение срока действия опциона (т.е. сумма (K) цен на акции делятся на (K)).

Шаг 6. Рассчитайте интересующие величины.

В нашем примере, первый расчет определяет стоимость азиатского колл-опциона на момент исполнения, ( С_{iT} ). А второй расчет дисконтирует эту конечную (будущую) стоимость к приведенной (текущей) стоимости, чтобы получить стоимость опциона на текущую дату, ( С_{i0} ).

Корреляция акций Российских компаний

Мы выполнили одно имитационное испытание (Нижний индекс (i) в ( С_{i0} ) означает (i-text{ое}) имитационное испытание).

При моделировании методом Монте-Карло, в табличной форме записываются статистические данные каждого испытания, касающиеся распределения интересующих нас величин, в том числе их средние значения и стандартные отклонения.

Шаг 7. Итеративно возвращайтесь к Шагу 4, пока не выполните все ( I ) испытаний.

И, наконец, рассчитайте итоговые статистические данные для всех имитаций. Ключевым значением в нашем примере является среднее значение ( С_{i0} ) для общего количества имитационных испытаний, ( I ). Это среднее значение и будет оценкой стоимости азиатского колл-опциона методом Монте-Карло.

Как правило, нам нужно увеличить количество испытаний на коэффициент 100, чтобы увеличить точность испытания на 1 знак.

В зависимости от задачи, могут потребоваться десятки тысяч испытаний, чтобы получить точность до 2 знаков после запятой (например, это требуется стоимости опциона).

Проведение большого количества испытаний не обязательно проблематично, учитывая нынешние вычислительные мощности (даже обычного пользовательского ПК). Необходимое число имитационных испытаний может быть уменьшено с использованием специальных процедур понижения дисперсии, но эта тема выходит за рамки данного чтения.

Для получения дополнительной информации об уменьшении числа испытаний и о других технических аспектах моделирования методом Монте-Карло, см. Hillier and Lieberman (2010).

Аналитик выбирает распределения вероятностей при моделировании методом Монте-Карло.

В отличие от этого, историческое моделирование (англ. ‘historical simulation’ или ‘back simulation’) заключается в выборке значений из исторических записей (или других базовых случайных величин), чтобы сымитировать процесс.

Концепция, лежащая в основе исторического моделирования, предполагает, что исторический опыт наиболее наглядно характеризует распределения (и что прошлое применимо к будущему).

Например, вернемся к Шагу 2 моделирования методом Монте-Карло, описанному выше, и предположим, что временной инкремент составляет 1 день. Далее, предположим, что мы основываем моделирование на записях ежедневных ставок доходности акций за последние 5 лет.

В одном из типов исторического моделирования, мы случайным образом выбираем (K) ставок доходности из исторических записей, чтобы выполнить одно имитационное испытание. Мы возвращаем наблюдения в выборку, и в следующем испытании мы снова делаем случайную выборку с заменой. Результаты моделирования напрямую отражают частоты в данных.

Недостатком такого подхода является то, что любой не учтенный за выбранный период риск (например, крах фондового рынка), не будет отражен в моделировании.

По сравнению с моделированием методом Монте-Карло, историческое моделирование не подлежит анализу «а что, если». Тем не менее, историческое моделирование является признанной альтернативной методу Монте-Карло.

Моделирование методом Монте-Карло является дополнением к аналитическим методам. Оно обеспечивает только статистические оценки, а не точные результаты. Аналитические методы, насколько возможно, обеспечивают более глубокое представление о причинно-следственных связях.

Например, модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мертона, применительно к стоимости европейского опциона, представляет собой аналитический метод, выраженный в виде формулы. Это гораздо более эффективный метод для оценки такого опциона, чем моделирование методом Монте-Карло.

В качестве аналитического метода, модель Блэка-Шоулза-Мертона позволяет аналитику быстро оценить чувствительность стоимости колл-опциона к изменениям текущей цены акций и другим случайным величинам, которые определяют стоимость при исполнении опциона.

https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin

В отличие от этого, моделирование методом Монте-Карло не дает такую точную картину напрямую.

Однако, только некоторые виды опционов можно оценить с помощью аналитических методов. И поскольку инновации финансовых продуктов продолжаются, область применения для моделирования методом Монте-Карло продолжает расти.

Генераторы случайных чисел и процедура генерации случайных наблюдений.

На Шаге 4 нашего примера, компьютер генерирует набор случайных наблюдений для стандартной нормальной случайной величины. Напомним, что для равномерного распределения все возможные исходы равновероятны.

Термин «генератор случайных чисел» (англ. ‘random number generator’) относится к алгоритму, который возвращает равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1.

В контексте компьютерного моделирования, термин «случайное число» (англ. ‘random number’) относится к наблюдению из равномерного распределения.

Для других распределений в данном контексте используется термин «случайное наблюдение» (англ. ‘random observation’).

Числа, возвращаемые генераторами случайных чисел, зависят от «зерна» или начального значения (от англ. ‘seed’). Если то же самое зерно передается в качестве параметра в тот же генератор, он будет возвращать ту же самую последовательность случайных чисел.

Все последовательности в конечном итоге повторяются.

Из-за этой предсказуемости, технически правильное название для чисел, полученных с помощью генераторов случайных чисел — псевдослучайные числа (англ. ‘pseudo-random numbers’).

Псевдослучайные числа достаточно хаотичны для большинства практических целей.

Замечательным фактом является то, что случайные наблюдения из любого распределения можно получить с использованием равномерной случайной величины в диапазоне от 0 до 1.

Для того, чтобы лучше понять это, рассмотрим метод обратной трансформации случайных наблюдений (англ. ‘inverse transformation method’).

Предположим, что мы заинтересованы в получении случайных наблюдений для случайной величины (X ), с кумулятивной функцией распределения ( F(x) ). Напомним, что ( F(x) ), рассчитанная в точке (x), представляет собой число между 0 и 1.

Предположим, что случайный исход этой случайной величины равен 3.21 и что (F(3.21) = 0.25) или 25%.

Определим обратную функцию (F) и назовем ее ( F^{-1} ). Она может сделать следующее: подставим вероятность 0.25 в функцию ( F^{-1} ), и она вернет случайный результат 3.21. Другими словами, ( F^{-1}(0.25)=3.21 ).

Для генерации случайных наблюдений величины ( X ), выполняются следующие шаги:

  1. генерация равномерного случайного числа (r), между 0 и 1, с использованием генератора случайных чисел и
  2. расчет ( F^{-1}(r) ), чтобы получить случайное наблюдение величины ( X ).

Генерация случайного наблюдения сама по себе является областью отдельного изучения, и здесь мы лишь кратко обсудили метод обратной трансформации.

Как финансовому аналитику, вам не придется заниматься техническими деталями преобразования случайных чисел в случайные наблюдения, но вы должны знать, что случайные наблюдения из любого распределения можно сгенерировать с использованием равномерной случайной величины.

Далее, в Примерах 11 и 12, мы проиллюстрируем, как моделирование методом Монте-Карло позволяет определить потенциальную выгоду от выбора момента сделки (рыночного тайминга).

Пример (11) определения потенциальной прибыли от рыночного тайминга: метод Монте-Карло (1).

Все активные инвесторы хотят достичь наилучшей эффективности. Одним из возможных источников высокой эффективности является выбор момента сделки или рыночный тайминг (англ. ‘market timing’) — способность определить оптимальный момент для покупки или продажи ценных бумаг.

Насколько точно инвестор должен прогнозировать бычий рынок (англ. ‘bull market’) и медвежий рынок (англ. ‘bear market’), чтобы получать прибыль?

Какой размер прибыли по сравнению со стратегией «покупать и держать» можно получить при заданной точности прогнозирования рынка?

Долгосрочная инвестиционная стратегия «покупать и держать» (англ. ‘buy-and-hold strategy’) игнорирует краткосрочные изменения рыночной стоимости акций.

Из-за большой изменчивости доходности активов, необходим огромный объем данных о доходности, чтобы получить статистически достоверные ответы на эти вопросы.

Поэтому исследователи Chua, Woodward и To (1987) выбрали метод Монте-Карло для определения потенциальной прибыли от рыночного тайминга. Их интересовали перспективы канадских инвесторов.

Чтобы понять их исследование, предположим, что в начале года инвестор прогнозирует, что в следующем году будет либо бычий рынок, либо медвежий рынок.

  • Если прогнозируется бычий рынок, инвестор вкладывает все свои деньги в акции и получает рыночную доходность за этот год.
  • С другой стороны, если прогнозируется медвежий рынок, инвестор вкладывает деньги в казначейские векселя и получает безрисковую доходность.
Рынок классифицируется как бычий, если рыночная доходность ( R_{Mt}) за вычетом безрисковой доходности по казначейским векселям ( R_{Ft}), является положительной в течение года. В противном случае, рынок классифицируются как медвежий рынок.

Инвестиционные результаты тех, кто использует рыночный тайминг можно сравнить с результатами тех, кто придерживается долгосрочной стратегии buy-and-hold. Долгосрочный инвестор получает рыночный доход ежегодно.

Для Chua и др. одним из интересующих показателей был выигрыш от рыночного тайминга. Они определили эту величину как среднюю доходность маркет-таймера за вычетом средней доходности долгосрочного инвестора.

Корреляция акций Российских компаний

Чтобы сымитировать рыночную доходность, Chua и др. сгенерировали 10 000 случайных стандартных нормальных наблюдений, ( Z_t ). Во время исследования средняя годовая доходность канадских акций составляла 12.95%, а стандартное отклонение — 18.30%.

( R_{Mt} = 0.1830 Z_t 0.1295, t = 1, 2, ldots, 10,000. )

Используя второй набор 10 000 случайных стандартных нормальных наблюдений, историческую доходность канадских казначейских векселей, а также историческую корреляцию векселей и доходности акций, авторы сгенерировали 10 000 ставок доходности казначейских векселей.

Инвесторы могут обладать различными навыками и опытом прогнозировании бычьих и медвежьих рынков. Chua и др. охарактеризовали маркет-таймеров по точности прогнозирования бычьих рынков и точности прогнозирования медвежьих рынков.

Например, точность прогнозирования бычьего рынка в 50% означает, что, если маркет-таймер прогнозирует бычий рынок на следующий год, он оказывается прав только в половине случаев, что указывает на отсутствие навыка.

Предположим, что точность в прогнозировании бычьего рынка составляет 60% и 80% — в прогнозировании медвежьего рынка (обозначается как ‘маркет-таймер 60-80’).

Мы можем смоделировать, насколько инвестор будет точен.

После генерации первого наблюдения для ( R_{Mt} — R_{Ft}), мы знаем, соответствует ли это наблюдение бычьему или медвежьему рынку.

Если наблюдение соответствует бычьему рынку, то 0.60 (точность прогноза на бычьем рынке) сравнивается со случайным числом (от 0 до 1).

Если случайное число оказывается меньше, чем 0.60, что происходит с вероятностью 60%, то предполагается, что маркет-таймер правильно предсказал бычий рынок и его доходность для этого первого наблюдения является рыночной ставкой доходности.

Если случайное число оказывается больше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер допустил ошибку и предсказал медвежий рынок. Его доходность для этого наблюдения является безрисковой ставкой доходности.

Аналогичным образом, если это первое наблюдение соответствует медвежьему рынку, маркет-таймер имеет 80-процентный шанс быть правым в прогнозировании медвежьего рынка на основе генерации случайных чисел.

В любом случае, доходность инвестора сравнивается с рыночной доходностью, чтобы зафиксировать его выигрыш (разницу) по сравнению с долгосрочной стратегией buy-and-hold.

Описанный выше процесс является одним имитационным испытанием (итерацией).

Сымитированной средней доходностью, заработанной маркет-таймером, будет средняя заработанная доходность по итогу всех испытаний в моделировании.

Для того, чтобы лучше понять этот процесс, рассмотрим гипотетическое моделирование методом Монте-Карло с четырьмя испытаниями для маркет-таймера 60-80 таймера (напомним, что это означает 60% точность в прогнозировании бычьих рынков и 80% точность в прогнозировании медвежьих рынков).

В Таблице 8 приведены данные для моделирования.

Давайте взглянем на испытания 1 и 2.

В испытании 1, первое сгенерированное случайное число приводит к рыночной доходности 0.121. Поскольку рыночная доходность 0.121, превысила безрисковую доходность по векселю 0.050, мы имеем дело с бычьим рынком.

Затем мы генерируем случайное число 0.531, которое мы потом сравниваем с точностью маркет-таймера для бычьего рынка, 0.60. Поскольку 0.531 меньше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер правильно спрогнозировал бычий рынок и, соответственно, вложился в акции. Таким образом, в этом испытании маркет-таймер получает рыночную доходность 0.121.

В испытании 2 мы наблюдаем еще один бычий рынок, и, поскольку случайное число 0.725 больше, чем 0.60, то предполагается, что маркет-таймер сделал ошибку и предсказал медвежий рынок. Таким образом, таймер заработал безрисковую доходность 0.081, а не более высокую рыночную доходность.

Таблица 8. Гипотетическое моделирование для маркет-таймера 60-80.

Испытание

Генерация случайных наблюдений для рыночной доходности  ( R_{Mt})

Результаты моделирования

( R_{Mt})

( R_{Ft})

Бычий или медвежий рынок?

Случайное число (X)

Предска-
зание маркет-таймера правильно?

Зарабо-
танная доходность маркет-таймера

1

0.121

0.050

Бычий

0.531

Да

0.121

2

0.092

0.081

Бычий

0.725

Нет

0.081

3

-0.020

0.034

Медвежий

0.786

Да

0.034

4

0.052

0.055

A

0.901

B

C

(overline R = D)

Примечание. (overline R ) является средней доходностью, заработанной маркет-таймером за четыре испытания моделирования.

Используя данные из Таблицы 8, определите значения A, B, C и D.

Значение А: ‘Медвежий’, потому что рыночная доходность 0.052 оказалась ниже безрисковой доходности 0.055 в испытании 4.

Значениt В: ‘Нет’, потому что мы наблюдаем медвежий рынок, и если сравним случайное число 0.901 с точностью прогнозирования медвежьего рынка 0.80, то окажется, что маркет-таймер допустил ошибку (поскольку 0.901 больше, чем 0.8)

Значение С: 0.052, так как маркет-таймер сделал ошибку, инвестировал в фондовый рынок и заработал 0.052, что ниже безрисковой доходности 0.055.

Значение D: (overline R ) = (0.121 0.081 0.034 0.052) = 0.288/4 = 0.072.

Обратите внимание, что мы могли бы вычислить другие статистические данные, помимо среднего, такие как стандартное отклонение доходности, заработанной маркет-таймером за четыре испытания в моделировании.

Итак, мы обсудили исследование Chua, Woodward и To и проиллюстрировали метод Монте-Карло гипотетическим моделированием из четырех испытаний.

Гипотетическое моделирование в Примере 11 включало слишком малое число испытаний, чтобы получить из него статистически точные выводы. Моделирование Chua и др. включало 10 000 испытаний. Исследователи определили пороговые значения навыков прогнозирования бычьих и медвежьих рынков в 50%, 60%, 70%, 80%, 90% и 100%.

Таблица 9 представляет собой небольшую выдержку из их результатов моделирования без учета трансакционных издержек (трансакционные издержки были также рассмотрены).

Например, в соответствии с этой таблицей, маркет-таймер с 60% точностью прогнозирования бычьего рынка и 80% точностью прогнозирования медвежьего рынка получал среднюю годовую выгоду (прибыль) от рыночного тайминга в размере -1.12 в год (т.е. отрицательную).

В среднем, заработок долгосрочного инвестора, придерживавшегося стратегии buy-and-hold, превосходил заработок маркет-таймера на 1.12 процентных пунктов.

Также заметна значительная изменчивость прибыли среди испытаний моделирования, однако стандартное отклонение прибыли составило 14.77%, так что во многих исследованиях (но не в среднем) прибыль была положительной.

Строка 3 (Выигрыш / Проигрыш) является отношением прибыльных переходов между рынком акций и безрисковых векселей к убыточным переходам. Это соотношение было благоприятным (1.2070) для маркет-таймера 60-80.

Однако, при анализе с учетом трансакционных издержек, меньшее количество переходов было прибыльным: коэффициент Выигрыш/Проигрыш составил 0.5832 для маркет-таймера 60-80.

Таблица 9. Выгода (прибыль) от рыночного тайминга (без трансакционных издержек).

Точность для бычьего рынка (%)

Точность для медвежьего рынка (%)

50

60

70

80

90

100

60

Среднее (%)

-2.50

-1.99

-1.57

-1.12

-0.68

-0.22

Ст. откл. (%)

13.65

14.11

14.45

14.77

15.08

15.42

Выигрыш / Проигрыш

0.7418

0.9062

1.0503

1.2070

1.3496

1.4986

Непрерывно начисляемая доходность.

Важной концепцией является непрерывно начисляемая доходность, связанная с доходностью за период владения, такой как ( R_{0,1} ).

Непрерывно начисляемая доходность (англ. ‘continuously compounded return’), связанная с доходностью за период владения, это натуральный логарифм из 1 плюс эта доходность за период владения, или, что эквивалентно, натуральный логарифм из конечной цены деленной на начальную цену (относительная цена).

В этом чтении мы используем строчную (r) для обозначения именно непрерывно начисляемой доходности.

Например, если мы наблюдаем недельную доходность за период владения 0.04, то недельной непрерывно начисляемой доходностью является ( ln (1.04) = 0.039221 ).

€1.00 инвестированный на одну неделю под 0.039221 при непрерывном начислении приносит €1.04, что эквивалентно 4%-ной недельной доходности за период владения.

( Large{ r_{t,t 1} = ln (S_{t 1} / S_t) = ln (1 R_{t,t 1}) })  (Формула 5)

В нашем примере,  (r_{0,1} = ln(S_1/S_0) \ = ln (1 R_{0,1}) = ln ($34.50/$30) \ = ln(1.15) =  0.139762. )

Таким образом, ставка 13.98% является непрерывно начисляемой доходностью во временной промежуток от ( t=0 ) до ( t=1 ). Непрерывно начисляемая доходность меньше соответствующей доходности за период владения.

( r_{0,T} = ln (S_T / S_0) )

( exp(r_{0,T}) = exp[ ln (S_T / S_0)] = S_T / S_0 ), поэтому

( S_T = S_0 exp (r_{0,T}) )

( S_T / S_0 = (S_T / S_{T-1}) (S_{T-1} / S_{T-2}) ldots (S_1 / S_0)  )

( Large{ r_{0,T} = r_{T-1,T} r_{T-2,T-1} ldots  r_{0,1} } )  (Формула 6)

Использование доходности за период владения для нахождения конечного значения $1 инвестиции, предполагает умножение величин (1 доходность за период владения). Использование же непрерывно начисляемой доходности предполагает сложение.

Ключевом предположением во многих инвестиционных задачах является то, что ставки доходности независимо и идентично распределены (IID, от англ. ‘independently and identically distributed’):

  • Независимость отражает предположение о том, что инвесторы не могут предсказать будущую доходность, используя прошлую доходность (то есть, это слабая степень эффективности рынка, от англ. ‘weak-form market efficiency’).
  • Идентичное распределение отражает предположение о стационарности (то есть, неизменности во времени). Стационарность подразумевает, что среднее и дисперсия доходности не изменяются от периода к периоду.

Предположим, что ставки непрерывно начисляемой доходности за 1 период (например, ( r_{0,1} )) являются IID случайными величинами со средним ( mu ) и дисперсией ( sigma^2 ) (но не делаем предположение о нормальности или других предположений о характере распределения), тогда

( Large{ E(r_{0,T}) = E(r_{T-1,T}) E(r_{T-2,T-1}) \ ldots  E( r_{0,1}) = mu T } )   (Формула 7)

(мы складываем ( mu ) в общей сложности ( T ) раз) и

( Large{ sigma^2(r_{0,T}) = sigma^2 T } ) (Формула 8)

(как следствие предположения о независимости).

( sigma(r_{0,T}) = sigma sqrt{T} )

Если непрерывно начисляемая доходность за 1 период в правой части Формулы 6 нормально распределяется, то непрерывно начисляемой доходности за период владения ( T ) , ( r_{0,T} ), также нормально распределяется со средним ( mu T ) и дисперсией ( sigma^2 T ).

Эта связь объясняется тем, что линейная комбинация нормальных случайных величин тоже нормальна. Но даже если ставки непрерывно начисляемой доходности за 1 период не являются нормальными, их сумма, ( r_{0,T} ), является приближенно нормальной в соответствии с центральной предельной теоремой.

Мы упоминали центральную предельную теорему (англ. ‘central limit theorem’) ранее, при обсуждении нормального распределения.

Напомним, что в соответствии с центральной предельной теоремой сумма (а также среднее) множества независимых идентично распределенных случайных величин с конечными дисперсиями нормально распределяется, независимо от распределения самих случайных величин.

Центральная предельная теорема обсуждается далее в чтениях о выборочном методе.
[см.: CFA — Центральная предельная теорема и распределение выборочного среднего]

Теперь сравните ( S_T = S_0 exp (r_{0,T}) ) с (Y = exp(Х) ), где ( Х ) является нормальной и Y является логнормальной (как обсуждалось выше).

Ясно, что мы можем моделировать будущую цену акций ( S_T ) как логнормальную случайную величину, поскольку ( r_{0,T} ) должна быть по крайней мере, приблизительно нормально распределена.

Это предположение о нормально распределенной доходности является основой в теории применения логнормального распределения в качестве модели для распределения цен на акций и другие активы.

Пример (10) оценки волатильности в соответствии с моделью ценообразования опционов.

Непрерывно начисляемая доходность играет роль во многих моделях ценообразования опционов, как уже упоминалось ранее. Оценка волатильности имеет решающее значение для использования моделей ценообразования опционов, таких как модель Блэка-Шоулза-Мертона.

Волатильность (англ. ‘volatility’) оценивает стандартное отклонение непрерывно начисляемой доходности базового актива.

Волатильность также называют мгновенным стандартным отклонением, и обозначают так же: ( sigma ). Базовый актив в данном случае — это актив, лежащий в основе опциона.

Для получения более подробной информации об этих концепциях см. Chance and Brooks (2012).

На практике мы очень часто оцениваем волатильность, используя историческую последовательность непрерывно начисляемой дневной доходности. Мы собираем множество ставок непрерывно начисляемой доходности (за период владения 1 день), и затем используем Формулу 5, чтобы преобразовать их в непрерывно начисляемую дневную доходность.

Затем мы вычисляем стандартное отклонение непрерывно начисляемой дневной доходности и аннуализируем (пересчитываем в годовое исчисление) это значение с помощью Формулы 8.

Для вычисления стандартного отклонения множества или выборки из (n) ставок доходности, мы суммируем квадраты отклонения каждой ставки доходности от средней доходности, а затем делим эту сумму на ( n — 1 ) (см. Формулу 13 ). В результате получается выборочная дисперсия.

Квадратный корень из выборочной дисперсии дает нам стандартное отклонение выборки. Более подробно расчет стандартного отклонения рассмотрен в чтениях о статистических концепциях и доходности рынка.

По соглашению, волатильность указывается в годовом исчислении.

В финансовой практике годовое исчисление часто рассчитывается на базе 250 дней в году — это приблизительное количество дней, когда финансовые рынки открыты для торговли. База в 250 дней в году может привести к лучшей оценке волатильности, чем календарная база — в 365 дней.

Таким образом, если дневная волатильность была 0.01, мы можем выразить волатильность (в годовом исчислении) как ( 0.01 sqrt{250} = 0.1581 ).

Пример 10 иллюстрирует оценку волатильности акций Astra International.

Предположим, вы анализируете акции компании Astra International (обозначение на индонезийской фондовой бирже: ASII) и вас интересует цена акций Astra за неделю, в течение которой международные экономические новости существенно повлияли на индонезийский фондовый рынок.

Вы решили использовать волатильность в качестве меры изменчивости акций Astra в течение этой недели. Таблица 7 показывает цены закрытия (цены на момент закрытия биржи) в течение этой недели.

Таблица 7. Ежедневные цены закрытия акций Astra International.

Дата

Цена закрытия (IDR)

17 июня 2013

6,950

18 июня 2013

7,000

19 июня 2013

6,850

20 июня 2013

6,600

21 июня 2013

6,350

Используйте данные из Таблице 7, чтобы сделать следующее:

  1. Оцените волатильность акций Astra. (Пересчитайте волатильность в годовое исчисление на основе 250 дней в году.)
  2. Определите распределение вероятностей для цен на акции Astra, если непрерывно начисляемая дневная доходность следует нормальному распределению.

Во-первых, используйте Формулу 5 для расчета непрерывно начисляемой дневной доходности. Затем найдите стандартное отклонение для полученной доходности обычным способом. (При расчете выборочной дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение выборки, используйте в знаменателе размер выборки, уменьшенный на 1).

( ln(7,000/6,950) = 0.007168 )( ln(6,850/7,000) = -0.021661 )( ln(6,600/6,850) = -0.037179 )( ln(6,350/6,600) = -0.038615 )

Сумма = -0.090287Среднее = -0.022572Дисперсия = 0.000452Стандартное отклонение = 0.021261

Стандартное отклонение непрерывно начисляемой дневной доходности равно 0.021261.

Формула 8 утверждает, что ( hat{sigma} (r_{0,T}) = hat{sigma} sqrt{T} ). В этом примере ( hat{sigma} ) является стандартным отклонением выборки для непрерывно начисляемой доходности за 1 период. Таким образом, ( hat{sigma} ) соответствует 0.021261.

Мы хотим пересчитать результат в годовое исчисление так, чтобы временной горизонт ( T ) соответствовал одному году. Так как ( hat{sigma} ) исчисляется в днях, мы устанавливаем ( T ) равным количеству торговых дней в году (250).

Мы находим, что в годовом исчислении волатильность акций Astra за эту неделю составляла 33.6%, что рассчитывается как ( 0.02126 sqrt{250} = 0.336165 ).

Обратите внимание, что выборочное среднее, -0.022572, является возможной оценкой среднего значения, ( mu ), для непрерывно начисляемой доходности за 1 период или ставок дневной доходности.

Выборочное среднее может быть переведено в оценку ожидаемой непрерывно начисляемой годовой доходности с помощью Формулы 7: ( hat{mu} T = -0.022572 (250) ) (используется база в 250 дней, чтобы результат соответствовал расчету волатильности).

Но четырех наблюдений слишком мало, чтобы оценить ожидаемую доходность. Изменчивость дневной доходности важнее любой информации об ожидаемой доходности в такой короткой последовательности наблюдений.

Цены на акции Astra должны следовать логнормальному распределению, если непрерывно начисляемая дневная доходность акций Astra следует нормальному распределению.

Мы показали, что распределение цены акций является логнормальным, с учетом некоторых предположений.

Каковы среднее значение и дисперсия ( S_T ), если ( S_T ) следует логнормальному распределению?

Выше мы привели перечень выражений для среднего и дисперсии логнормальной случайной величины. В этом перечне, ( hat{mu} ) и ( hat{sigma} ) ссылаются, в контексте этого обсуждения, на среднее и дисперсию временного горизонта ( T) (а не одного периода) непрерывно начисляемой доходности (предполагая, что оно следует нормальному распределению), совместимому с временным горизонтом  ( S_T ).

Например, выражение для среднего значения: ( E(S_T) S_0 exp[E(r_{0,T}) 0.5sigma^2(r_{0,T})] ).

Ранее в этом чтении мы использовали среднее значение и дисперсию (или стандартное отклонение), чтобы построить интервалы, в которых мы ожидали найти определенный процент наблюдений нормально распределенной случайной величины. Эти интервалы были симметричны относительно среднего значения.

[см: CFA — Нормальное распределение вероятностей]

Можем ли мы использовать подобные, симметричные интервалы для логнормальной случайной величины?

К сожалению, мы не можем. Поскольку логнормальное распределение не является симметричным, такие интервалы являются более сложными, чем для нормального распределения, и мы не будем обсуждать эту особую тему здесь.

См. Hull (2011) для обсуждения логнормальных доверительных интервалов.

Наконец, мы представили связь между средним и дисперсией непрерывно начисляемой доходности с различными временными горизонтами (см. Формулы 7 и 8), но как связаны средние и дисперсии ставок доходности за период владения и ставок непрерывно начисляемой доходности?

Как аналитики, мы обычно рассуждаем в терминах доходности за период владения, а не непрерывно начисляемой доходности, и хотим преобразовать средние и стандартные отклонения доходности за период владения в средние и стандартные отклонения непрерывно начисляемой доходности для работы с опционами, например.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyrightru

Чтобы осуществить такие преобразования (и в таком и в обратном направлении), мы можем использовать выражения, изложенные в работе: Ferguson (1993).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Информационный сайт
Adblock detector